نگاهی به دنیای هیجان انگیز هندسه ی فِراکتال و نظریه ی آشوب

/
/
/

در این سفر کوتاه برای کشف دنیای شگفت انگیز، زیبا و بی نهایت فراکتال ها و آشوب با ما همراه شوید…

بر اساس آمار موسسه ی شمارش ملی (National Numeracy، موسسه ی خیریه ی مستقلی در انگلستان که در مورد توسعه ی اهمیت قابلیت کار با اعداد و مفاهیم روزمره ی ریاضیات فعالیت می کند)، در کشور انگلستان، این که شما قبول کنید که در ریاضیات خوب نبوده و مهارتی ندارید، از نظر اجتماعی (در نگاه مردم) پذیرفته شده و قابل قبول بوده و از طرفی این موضوع باعث می شود که مردم شما را از گروه داشمندان دیوانه (بی اخلاق)، آدم های فراری از اجتماع و بدون مهارت های برقراری ارتباط با دیگران، جدا کنند.
با این طرز تفکر، عجیب نیست که این کشور در رتبه ی ۲۶ اُم جدول اتحادیه ی جهانیِ ریاضیات که توسط سازمان همکاری و توسعه ی اقتصادی (Organization for Economic Co-operation and Development یا OECD، یک سازمان جهانی با ۳۵ عضو است که اعضای آن متعهد به اصول دموکراسی و اقتصاد آزاد هستند و به تعبیری اصلی ترین سازمان جهانیِ تصمیم گیرنده ی اقتصادی است) منتشر شده، قرار گرفته است.
از آن جایی که داشتن مهارت های ریاضی در زندگی روزمره بسیار اهمیت داشته و یکی از مهم ترین معیار های برای استفاده از موقعیت های شغلی در بازار کار است، این آمار برای یک کشور اروپایی پیشرفته و جایگاه آن در بین کشور های جهان، نگران کننده است.
با وجود این که اطمینان داریم خوانندگان مقاله های ما (مجله ی Linux user) از آن دسته از افرادی هستند که دارای مهارت های ریاضی و شمارشیِ قابل قبولی هستند، فکر نمی کنیم که آن ها باور داشته باشند که علم ریاضی، جذاب است اما حقیقت این است که دانش ریاضی، جذابیت های بی شماری دارد.
برای این که به شما نشان دهیم در کنار جذابیت، دانش ریاضی می تواند شگفت انگیز هم باشد، تصمیم داریم در این مقاله، شاخه ای بی نظیر و سِحر آمیز از ریاضیات را به شما معرفی کنیم که می توانید با برنامه نویسی یا استفاده از نرم افزار های مختلف، زاویه های مختلف آن را بررسی کنید.
این شاخه از ریاضی، هندسه ی فِراکتال یا بَرخالی (Fractal geometry) نام داشته که یکی از نزدیک شاخه های ریاضی به نظریه ی آشوب (Chaos theory) است. اگر تا به حال چیزی در مورد این شاخه از ریاضی به گوشتان نرسیده، خودتان را برای شگفت زده شدن آماده کنید.

هندسه ی فِراکتال
هندسه ی فراکتال یکی از شاخه های به نسبت جدید ریاضی است که شروع آن به دهه ی ۱۹۶۰ میلادی و با مطرح شدن پُرسش «خط ساحلی پیرامون بریتانیا چقدر طول دارد؟»، توسط ریاضی دانی به نام بِنوآ مَندِلبرو (Benoit Mandelbrot، ریاضی دان فرانسوی تبار آمریکایی که به عنوان پدر هندسه ی فراکتال شناخته می شود) برمی گردد. مشخص شده است که جواب این پرسش به طول مقیاس اندازه گیری بستگی دارد. در حقیقت هر اندازه که مقیاس اندازه گیری کوچک تر باشد، طول خط ساحلی بیش تر خواهد بود (مَندِلبرو کشف کرد که هرگاه این طول با یک مقیاس بزرگ اندازه گرفته شود، مقدار آن کم تر از زمانی است که با یک مقیاس کوچک اندازه گیری شده باشد).
دلیل این موضوع این است که یک خط ساحلی، مانند بسیاری از ساختار های طبیعت، در مقیاس های کوچک تر دارای جزئیات بیش تری است. به زبان ریاضی، چنین ساختار هایی، در مقیاس های چند گانه، خود متشابه هستند و این عبارت یکی از ساده ترین تعریف ها برای یک فراکتال (بَرخال) است. در اشیاء دنیای واقعی، این خاصیت خود متشابهی در مقیاس هایی بزرگ تر از سطح اتم یا مولکول، کمتر دیده می شود اما یک فراکتال ریاضیِ واقعی، دارای خاصیت خود متشابهیِ کامل یا تقریبی در تمام سطوح می باشد. به بیان دیگر، هر اندازه که یک تصویر فراکتال را بزرگ کنیم (روی آن زوم کنیم)، شکل آن تغییری نمی کند و در حقیقت چه از دور و چه از نزدیک به آن نگاه کنیم، شکل یکسانی دارد.
نخستین ساختار های فراکتال قبل از وارد شدن این واژه به دنیای ریاضی و توجه ریاضی دان ها در دهه های ۱۹۶۰ و ۱۹۷۰ میلادی به آن ها، مشاهده شدند. یک نمونه ی کلاسیک از شکل های فراکتال، مثلث سِرپینسکی (Sierpinski triangle یا Sierpinski gasket) است از نوع فراکتال های دستگاه تابع تکرار شده (IFS مخفف iterated function system که فراکتال هایی هستند که می توانند از هر تعداد بُعد دلخواه باشند اما به صورت دو بعدی محاسبه و کشیده می شوند) می باشد. این شکل به سادگی و با استفاده از چند خط کُد ایجاد می شود. برای کشیدن این شکل، باید با یک مثلث متساوی الاضلاع جامد (مثلث متساوی الاضلاعی که داخل آن رنگ شده) شروع کنیم. باید وسط هر ضلع را به وسط دو ضلع دیگر وصل کرده تا چهار مثلث متساوی الاضلاع کوچک تر ایجاد شده و مثلث وسطی را برداریم. سپس همین کار را برای سه مثلث جامد (تو پُر) باقی مانده انجام می دهیم یعنی هر کدام را به همین شکل به چهار مثلث کوچک تر تقسیم کرده و مثل وسطی را برمی داریم. این کار را می توان تا وقتی مثلث ها بسیار کوچک شوند یا وقتی که از این کار خسته شویم ادامه دهیم اما باید بدانیم که مثلث سرپینسکی زمانی ایجاد می شود که این کار (تقسیم مثلث به چهار مثلث کوچک تر و برداشتن مثلث وسطی) برای همیشه (تا بی نهایت) ادامه پیدا کند.
پس از مثلث سِرپینسکی شاید بخواهید فراکتال های IFS دیگری مانند فرش یا چهار ضلعیِ سِرپینسکی (Sierpinski carpet)، پنج ضلعیِ سِرپینسکی (Sierpinski pentagon)، دانه ی برف کُخ (Koch snowflake) و منحنی اژدها (Dragon curve) را بررسی کنید که اطلاعات زیادی در مورد آن ها در اینترنت وجود دارد. البته اگر به شکل های سه بعدی علاقه ی بیشتری دارید، نسخه ی های سه بعدی این فراکتال ها شامل هرم سرپینسکی (Sierpinski pyramid) و اِسفنجِ مِنگِر (Menger sponge) می توانند برایتان جذاب باشند.
همچنین، نرم افزار های لینوکس منبع باز و مجانی زیادی وجود دارند که می توانند این فراکتال های IFS را ایجاد کنند. یکی از بهترین نرم افزار ها برای شروع کار، افزایه (plug-in) ای با نام IFS Fractal برای بسته ی ویرایش عکس مجانیِ GIMP به نشانیِhttps://www.gimp.org است که فهرست ایجاد فراکتال ها در آن در مسیر

Filter > Render > Nature > IFS Fractal

قرار دارد. همچنین، در کنار ایجاد فراکتال هایی که از هر نظر ظاهر هندسی دارند، این نرم افزار به شما اجازه می دهد که ایجاد فراکتال هایی با قانون های فراکتالیِ کمتر که به سختی تعریف شده و در ظاهر می توانند شکل هایی طبیعی مانند درخت ها ایجاد کنند را نیز تجربه کنید.
از آن جایی که فراکتال های IFS ظاهر جذاب تری دارند و بی نهایت را بهتر نمایش می دهند، جای تعجب ندارد که هر چقدر که تصویر آن ها بزرگ تر شود (روی آن ها زوم شود)، خاصیت خود متشابه بودن مشخص تر خواهد بود. اگر چه در زمان ایجاد فراکتال های زمان ِ فرار (escape-time fractal)، ما چندین و چند بار یک تابع ریاضی را تکرار می کنیم، به هیچ وجه واضح نیست که این فرآیند، فراکتال های واقعی را تولید می کند. نکته ی جالب توجه این است که این فرآیند، فراکتال هایی را تولید می کند که بی نهایت در طبیعتشان وجود دارد اما دارای درجه ای از غیر پیش بینی پذیری در زمان بزرگ تر شدن (زوم شدن) تصویر هستند. بدون تردید، شناخته شده ترین فراکتال زمانِ فرار، مجموعه ی مَندِلبرو (Mandelbrot set) است که چگونگیِ تولید شدن آن را بررسی خواهیم کرد. برای تولید مجموعه ی مَندِلبرو لازم است که با اعداد مختلط کار کنیم. یک عدد مختلط به صورت a+ib نمایش داده می شود که در آن a و b که به ترتیب قسمت حقیقی و قسمت موهومی نامیده می شوند، اعداد حقیقی و i یکه ی موهومی است که ریشه ی دوم ۱- است. از آن جایی که موضوع این مقاله اعداد مختلط نیست، به شما توصیه می کنیم برای آشنایی بیشتر با آن ها به مقاله های مرتبط با اعداد مختلط مراجعه کنید.

 

مجموعه ی مَندِلبرو (Mandelbrot set) و تصویر سازی
برای ایجاد یا تولید تصویری از مجموعه ی مَندِلبرو باید یک آزمون (تست) بر روی تمام اعداد مختلط (البته تنها بر روی اعداد بین -۲٫۰ و +۰٫۵ روی محور حقیقی و اعداد بین -۱٫۲i و +۱٫۲i روی محور موهومی) انجام داده و نتیجه را بر روی صفحه ی مختلط نمایش دهیم. با صفر شروع می کنیم، آن را به توان دو رسانده و عدد مختلط مورد نظر را به آن اضافه می کنیم. اگر نتیجه ی به دست آمده دارای قدر مطلق (فاصله ی عدد تا صفر در صفحه ی مختلط) بزرگ تر یا مساوی دو باشد، نقطه ی مورد نظر در مجموعه ی مَندِلبرو قرار نمی گیرد. اگر قدر مطلق کمتر از دو بود، محاسبات را تکرار می کنیم یعنی عدد را به توان دو رسانده و مقدار عدد را به آن اضافه می کنیم. اگر قدر مطلق عدد به دست آمده بزرگ تر یا مساوی دو باشد، نقطه ی مورد نظر در مجموعه ی مَندِلبرو قرار نمی گیرد اما اگر مقدار قدر مطلق کمتر از دو باشد، محاسبات را دوباره تکرار کرده و این فرآیند را به همین ترتیب ادامه می دهیم. قدر مطلق نقطه هایی که در مجموعه ی مَندِلبرو قرار ندارند، خیلی زود از دو بیشتر شده و به سمت بی نهایت می روند. نقطه هایی که در مجموعه ی مَندِلبرو قرار دارند، هر چند بار که این فرآیند تکرار شود، باز هم در نزدیکیِ صفر باقی می مانند (در عمل، یک عدد دلخواه مانند ۲۰ برای تعداد تکرار ها در نظر گرفته می شود).
یک تصویر ساده از مجموعه ی مَندِلبرو دارای مجموعه نقاطی است که در صورت پُشت سر گذاشتن آزمون به رنگ سیاه و در غیر این صورت به رنگ سفید هستند. اگر نقطه هایی که آزمون را پُشت سر نگذاشته اند با توجه به تعداد تکرار انجام شده تا رسیدن به قدر مطلق بیشتر از دو، رنگ آمیزی شوند، این تصویر جذابیت بیشتری خواهد داشت.
تصویر کاملی از مجموعه ی مَندِلبرو در گوشه ی بالای سمت چپ شکل یک مشاهده می شود که در همان نگاه نُخست مشخص است که یک تصویر هندسیِ ساده نیست. با بزرگ کردن (زوم کردن بر روی) یک قسمت از عکس، همان کاری که برای ایجاد تصویر های دیگر شکل ۱ انجام شده، جزئیات بیشتری از آن دیده شده و پیچیدگیِ تمام نشدنیِ آن مشخص می شود. بر خلاف فراکتال های IFS، با بزرگ تر شدن (زوم کردن) تصویر، ساختارِ مشابه با تمام شکل دیده نمی شود اما ترتیب های مشابهی از الگو های خط های شکسته (zigzag)، مار پیچ یا حلزونی (spiral) ها و نقطه های برخورد (burst ها) مشاهده شده و شما مینیاتور (خُرده نظام) هایی البته با تفاوت های جزئی و نسخه های متفاوتی از مجموعه ی مَندِلبرو را خواهید دید. در حقیقت، جزئیاتی که توسط چنین تابع ساده ای تولید می شود به اندازه ای است که با هر بار بزرگ تر یا کوچک تر کردن تصویر، می توانید جزئیات جدیدی که تا به حال دیده نشده اند را مشاهده کنید.
با وجود ساده بودن نوشتن کُد برای کشیدن مجموعه ی مَندِلبرو، ایجاد یک رابط کاربری برای فراهم کردن امکان بزرگ و کوچک (زوم) کردن آن، چندان آسان نیست. در حقیقت، در حالی که بزرگ و کوچک (زوم) کردن تنها باید با پُر کردن در سلول ها و با تعریف محدوده ای از صفحه ی مختلط قابل دسترسی باشد، ایجاد یک صفحه گسترده ی Excel با یک ماکرو (macro) ساده برای انجام این کار، بسیار آسان است. با وجود این که نوشتن نرم افزار خودتان می تواند یک تمرین آموزشی جذاب باشد اما اگر فقط می خواهید تصویر های شگفت انگیز مجموعه ی مَندِلبرو را ایجاد کنید، بهتر است از نرم افزار هایی که توانایی انجام این کار را دارند استفاده کنید. یکی از بهترین بسته های لینوکس برای این کار GnoFract 4D (به نشانی http://edyoung.github.io/gnofract4d) است که به صورت رایگان در اختیار شما قرار می گیرد. در این نرم افزار در کنار مجموعه ی مَندِلبرو، امکان بررسی مجموعه ی جولیا (Julia set) نیز وجود داشته و گزینه ای برای تعریف فُرمول خودتان نیز در اختیارتان قرار داده شده تا امکان بررسی هر فراکتال فضا-زمان قابل رسم نیز فراهم شده باشد. اگر می خواهید فراکتال های سه بعدی (فضا-زمان و IFS) را بررسی کنید، بسته ی رایگان Mandelbulber (به نشانی http://www.mandelbulber.com) همان چیزی است که به آن نیاز دارید.

 

نظریه آشوب
نظریه ی آشوب (بی نظمی ها)، به بررسی دستگاه (سیستم) هایی می پردازد که نسبت به شرایط ابتدایی (اولیه ی) خود، بسیار حساس هستند. یک مُدِل بسیار ساده ی ریاضی از رُشد گونه های زیست شناختی (بیولوژیکی) مانند مگس طاووسی (fruit fly) با فرمول

x^(n+1)=ax^n (1-x^n)

است که در آن xn، جمعیت (population) در نسل حاضر (نسل کنونی) و xn+1، جمعیت در نسل آینده و a نرخ رُشد (growth rate) می باشد. در این فرمول، مقدار جمعیت، عددی بین صفر و یک است که ریاضی دان ها آن را «نُرمال شده به ۱» می نامند اما همیشه می توان این عدد را با ضرب کردن آن در یک مقدار ثابت به عددی که در دنیای واقعی وجود دارد تبدیل کرد. اگر می خواهید این فرمول را برای چند نسل بررسی کنید می توانید این کار را به سادگی با چند خط کُد یا یک فایل Excel انجام دهید و به نموداری شبیه آن چه در شکل ۲ نشان داده شده برسید.
اگر با یک جمعیت بزرگ تر از صفر (برای نمونه ۰٫۱) شروع کنید متوجه خواهید شد که با ثابت های رُشد بزرگ تر از ۱ و کوچک تر از ۳، جمعیت در هر نقطه ای که آن را ثابت می کند، به یک مقدار بیشینه (ماکسیمم) می رسد. مقدار نهایی برای نرخ های رُشد بیشتر، بزرگ تر است. البته با نرخ های رُشد بزرگ تر از ۳، رفتار های بسیار متفاوتی پدیدار می شود. در چنین شرایطی، هیچ جمعیت نهایی مُنفرد یا تَکی (single) به غیر از مقداری که در محدوده ی مقادیر متفاوت بین نسل ها نوسان می کند، وجود ندارد. این شرایط به عنوان پدیده ی «رونق و رُکود» (boom and bust) شناخته می شود که در آن نسل های متناوب به اندازه ای زیاد (بزرگ) هستند که امکان پشتیبانی از آن ها برای طبیعت (محیط زیست) وجود نداشته و به همین دلیل مقدار زیاد (نرخ بالای) مرگ و میر (تلفات) در نسل آینده نمود پیدا می کند (بازتاب داده می شود). پس از این بررسی، اگر نرخ رُشد ۳٫۵ را امتحان کنید، می بینید که جمعیت نهایی بین چهار مقدار متفاوت نوسان کرده و در نرخ های رُشد بالا تر، جمعیت نهایی بین ۸، ۱۶ یا مقادیر بیشتر نوسان می کند. البته این موضوع همیشگی نیست. وقتی نرخ رُشد از حدود ۳٫۷ بالاتر برود، نرخ نهایی جمعیت در محدوده ی گسترده ای از مقادیر مختلف تناوب داشته که ممکن است بی نظم یا آشوبی (chaotic) به نظر برسد اما با وجود این که دستگاه (سیستم) در این شرایط آشوبی است اما این کلمه معنیِ متفاوتی دارد. در حقیقت برای تمام مقادیر کوچک ترِ ثابت رُشد، با یک مقدار متفاوتِ جمعیت ابتدایی، جمعیت نهایی به همان مقدار یا مقادیر همگرا خواهد بود اما در محدوده ی آشوبی چندان به این شکل نیست. اگر شما با عدد ۰٫۱۰۱ به جای ۰٫۱ به عنوان جمعیت ابتدایی شروع کنید، اگر چه رُشد به همان شکل شروع می شود اما به سرعت مسیری متفاوت را در پیش می گیرد که نمودار نهایی آن در شکل ۲ مشخص است. در حقیقت، با وجود نزدیک بودن دو مقدار ابتدایی، نتیجه ی نهایی همیشه در انتها واگرا خواهد بود. رُشد یک مقدار جمعیت ابتداییِ ۰٫۱۰۰۱ منعکس کننده ی یک مقدار ابتدایی ۰٫۱ در زمان طولانی تر است اما این مقدار نیز در نهایت واگرا خواهد بود. این موضوع، معنیِ بسیار حساس بودن به شرایط ابتدایی (اولیه) است و توانایی ما برای مُدِل بندیِ برخی پدیده های طبیعی، به خصوص موضوع مورد توجهِ وضعیت آب و هوا، برای مدت طولانی را محدود می کند (در حقیقت این موضوع نشان می دهد که پیش بینی دراز مدت مواردی مانند وضعیت آب و هوا امکان پذیر نیست).
تا کنون، در مورد نظریه ی آشوب، تنها فقط چند فرمول را دیده و آن ها را بر روی نمودار های خطی ساده نمایش داده ایم اما چیزی که قابل مقایسه با مجموعه ی مَندِلبرو باشد را مشاهده نکرده ایم. در حقیقت، ویژگی های این نظریه در بررسی نمودار چند شاخگی (bifurcation) دیده می شوند. در ادامه به چگونگی ایجاد این نمودار که باز هم یک تمرین برنامه نویسیِ نه چندان پیچیده است می پردازیم. تنها با استفاده از یک مقدار برای جمعیت ابتدایی (اولیه)، مقدار یا مقدار هایی متناظر با جمعیت نهایی برای نرخ هایی در محدوده ی ۱ تا ۴ به دست می آید (که البته برای محدوده ی ۱ تا ۲٫۵ چندان جالب توجه نیستند). جمعیت نهایی را عددی در نظر می گیریم که پیش از آن جمعیت تثبیت شده باشد و بهترین راه برای به دست آوردن آن، در نظر نگرفتن تعدادی (برای نمونه ۱۵۰ عدد) از جمعیت های ابتدایی است. اکنون کافی است جمعیت (های) نهایی را در مقابل نرخ رُشد در یک نمودار X-Y رسم کنیم. نتیجه ی این نمودار، همان طور که در شکل ۳ دیده می شود، نمودار چند شاخگی (یا انشعاب) نامیده شده و نسخه هایی از این نمودار که شباهت بسیار زیادی با یکدیگر دارند را می توان با استفاده از فرمول های بسیار متفاوت از یکدیگر که بیان کننده ی دستگاه های آشوبی هستند، ایجاد کرد. نکته ی قابل توجهی که مشخصه ی چند شاخگی (bifurcation) ها می باشد، تقسیم (دو شاخه) شدن نمودار به دو قسمت بعد از بیشتر شدن نرخ رُشد از عدد ۳ و زیاد شدن تعداد شاخه ها در نرخ های رُشد بالا تر است. همچنین، محدوده ی آشوبیِ بالا تر از نرخ ۳٫۶۵ نیز بسیار قابل توجه است. البته مشخص است که آشوب برای همیشه ادامه پیدا نمی کند. در حقیقت، سه نوار مشخص وجود دارند که در آن ها، ترتیب، یک بار دیگر و پیش از آن که آشوب دوباره باز گردد، مسلط (غالب) می شود.
در این مرحله از بررسی نظریه آشوب به دنیای عجیب و غریب جذب کننده (attractor) های ناشناخته می رسیم. از نقطه نظر ریاضی، یک جذب کننده، یک یا چند مقدار است که یک دستگاه را باز می کند (رُشد می دهد). در مورد مُدلِ جمعیت با نرخ رُشد کمتر از ۳، جذب کننده تنها یک مقدار است در حالی که برای مقدار های بیشتر از ۳، یک جُفت (دو عدد) جذب کننده وجود دارد. به بیان کوتاه تر (و با توجه به این که این مقاله مقدمه ای کوتاه در مورد نظریه ی آشوب است)، یک جذب کننده در یک دستگاه آشوبی، همان چیزی است که ریاضی دان ها آن را یک جذب کننده ی ناشناخته می نامند و اگر یک جذب کننده ی ناشناخته را رسم کنیم، متوجه می شویم که با یک شکل فراکتال روبرو شده ایم. شاید بعد از خواندن این مقاله بخواهید بیشتر در مورد جذب کننده های ناشناخته مطالعه کنید اما بدون فهمیدن دقیق مفهوم ریاضی آن ها نیز، رسم کردنشان یک راه جذاب برای ایجاد بی نهایت تصویر پیچیده و مشاهده ی طبیعت دیوانه کننده ی این قسمت از دنیای ریاضی است. برای این کار می توانید از نرم افزار های مختلفی استفاده کنید اما یکی از بهترین ها، Chaoscope است که می توان آن را از

http://www.chaoscope.org

به صورت رایگان دانلود کرد.

 

ارتباط
تا این جا، نگاهی کوتاه به هندسه ی فراکتال و نظریه ی آشوب داشته ایم. پرسشی که به صورت منطقی مطرح می شود این است که چرا این دو شاخه ی جدا از هم دانش ریاضی را در کنار هم بررسی کرده ایم. در این مقاله نمی خواهیم درگیر تعریف های پیچیده و علمیِ ریاضی باشیم و تنها به این نکته اشاره می کنیم که ارتباط هندسه ی فراکتال و نظریه ی آشوب، بیشتر از آن چیزی است که در نگاه ابتدایی به نظر می رسد.
نخستین ارتباط، که به احتمال زیاد متوجه آن شده اید، این است که هر دو نظریه دارای شامل دسته ی مشخصی از تابع های ریاضی هستند. این دسته از توابع که با نام تابع تکرار شونده (iterative function) شناخته می شوند، یک عملیات ریاضی را بر روی یک مقدار انجام داده و آن عملیات را چندین و چند بار بر روی نتیجه ی به دست آمده نیز انجام می دهند. موارد مشترک دیگری که بین این دو نظریه ی وجود دارند، چندان مورد انتظار نیستند.
به یک تصویر بسیار بزرگ شده (با زوم بالا) از مجموعه ی مَندِلبرو برمی گردیم. اکنون دو نقطه ی نشان دهنده ی دو عدد مختلط را در نظر بگیرید که یکی از آن ها عضوی از مجموعه ی مَندِلبرو بوده و با رنگ سیاه نشان داده شده و نقطه ی دوم در طرف دیگر قرار داشته و به صورت رنگی مشخص شده است.
این دو عدد می توانند تا چندین رقم اعشار برابر باشند اما با اجرای تابع تکرار شونده، یکی از آن ها به سمت بی نهایت میل می کند در حالی که دیگری در نزدیکیِ صفر باقی می ماند. به بیان دیگر، حساسیت بسیار زیادی نسبت به شرایط ابتدایی وجود دارد که البته تعریف یک سیستم آشوبی است.
اکنون، به بیان ساده، نمودار چند شاخگی را زیر نور قرار می دهیم (با دقت بررسی می کنیم). شاید به نظر برسد که در حال نگاه کردن به یک شکل آشوبی هستیم اما با بزرگ (زوم) کردن قسمت های مختلف متوجه می شویم که با یک شکل فراکتال روبرو هستیم.
در آخر می خواهیم جذاب ترین و شگفت انگیز ترین ویژگی را بیان کنیم. اگر تصویری از مجموعه ی کامل مَندِلبرو را درست در زیر تصویری از نمودار چند شاخگی، اما به صورت برعکس نمایش معمولی آن یعنی به شکلی که اعدادی که در راستای محور افقی هستند با حرکت از سمت چپ به راست کاهش پیدا کنند، قرار دهیم، متوجه یک ویژگی حیرت انگیز خواهیم شد. اگر مقیاس نمودار چند شاخگی را طوری تغییر دهیم که قسمت (مقطع) دو شاخه شدن (نخستین انشعاب یا چند شاخگی)، همان فضای اُفقیِ قسمت دِل نَما (دِلوار یا cardioid) از مجموعه ی مَندِلبرو را اشغال کند، متوجه دیگر ویژگی ها نیز می شویم.
به طور مشخص، متوجه می شویم که قسمتی از نمودار چند شاخگی که بین خط های چند شاخه شدن ابتدایی و چند شاخه شدن دوم است به موازات نخستین حباب دایره ای قرار گرفته، محدوده ی چند شاخگیِ سوم به موازات حباب دایره ایِ دوم بوده و این ترتیب به همین شکل ادامه دارد. همچنین متوجه می شویم که بخش هایی از نمودار چند شاخگی که در محدوده ی آشفتگی قرار دارد، متناسب با رونوشت های کوچک مجموعه ی مَندِلبرو در قسمت شاخک یا آنتِن (antenna) در مجموعه ی مَندِلبرو اصلی هستند. با وجود این همه زیبایی و جذابیت در دنیای ریاضی، بدون شک شما هم باور کرده اید که این شاخه از دانش بشری، حیرت انگیز و بی نظیر است.

ایجاد صحنه های طبیعی با استفاده از فِراکتال
از آن جایی که بسیاری از شکل (فُرم) های طبیعی مانند رشته کوه ها، خطوط ساحلی، ابر ها و درخت ها دارای خاصیت های فراکتال هستند، تصویر هایی که با استفاده از کامپیوتر ساخته شده اند، با وجود این که به تعداد کمی از داده ها احتیاج دارند، می توانند ظاهری واقعی داشته باشند. بنا بر این می توان از این روش برای تولید صحنه ها در فیلم های علمی – تخیلی یا بازی های کامپیوتری استفاده کرد.

 

پیش بینی کُلی
از آن جایی که پدیده ی آب و هوا یک دستگاه آشوبی است، امکان اندازه گیریِ شرایط ابتداییِ دما، سرعت باد، رطوبت و مواردی مانند این ها با دقت بسیار زیاد در بلند مدت، وجود ندارد. البته پیش بینیِ کُلی با توجه به این که پدیده ی آب و هوا همیشه آشوبی نیست، می تواند یک راه حل تا اندازه ای قابل قبول به حساب بیاید. روش حل ریاضی چنین مواردی عبارت از حل معادلات با مقادیری در شرایطی ابتدایی که تفاوت بسیار کمی داشته و تخصیص یک عامل اطمینان با توجه به میزان توافق آن ها با شرایط، می باشد.

 

منابع

– GIMP and the IFS Fractal plug-in
www.gimp.org
– GnoFract 4D
http://edyoung.github.io/gnof-ract4d
– ۳D fractals, Mandelbulber
www.mandelbulber.com
– Chaoscope
www.chaoscope.org

نظر بدهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

It is main inner container footer text